Praca przedstawia metodę znajdowania ewolucji czasowej układów hamiltonowskich opartą na rozwiązywaniu układów liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu. Przedstawiono dokładną wersję tej metody oraz wersję przybliżoną, którą można stosować dla bardziej skomplikowanych układów. Pokazano również, że metoda ta po pewnych modyfikacjach może być stosowana do znajdowania ewolucji czasowej wartości oczekiwanych obserwabli w mechanice kwantowej.

Jak wiadomo, jednorodne liniowe układy równań różniczkowych pierwszego rzędu o stałych współczynnikach można łatwo rozwiązać analitycznie, na przykład wykorzystując eksponentę macierzy współczynników. 

Wiadomo też, że mając dany hamiltonian można łatwo obliczyć pochodną czasową dowolnej funkcji pędów i współrzędnych za pomocą jej nawiasu Poissona z Hamiltonianem. Łącząc te obserwacje, można dojść do wniosku, że przy pewnych warunkach rozwiązanie równań Hamiltona można sprowadzić do obliczenia eksponenty macierzy. 

Dodatkowo, zastępując odpowiednie funkcje operatorami, a nawiasy Poissona komutatora mi można podobną metodę wykorzystać do obliczania wartości oczekiwanych obserwabli w mechanice kwantowej. 

f(q, p) – funkcja zależna od współrzędnych i pędów uogólnionych, nie zależna jawnie od
czasu
H – hamiltonian. W tej pracy rozważano tylko hamiltoniany nie zależne jawnie od czasu.
W sekcji dotyczącej mechaniki klasycznej hamiltonian jest rozumiany w sposób klasyczny,czyli jako funkcja współrzędnych i pędów uogólnionych. W seckji dotyczącej mechaniki
kwantowej hamiltonian jest rozumiany w sposób kwantowy, czyli jako operator Hamiltona
(operator energii).
{A, B} – nawias Possona funkcji A i B {A; B} – zbiór zawierający elementy A i B
A0 – wartość funkcji A(t) dla t = 0, A(0)
m – masa rozpatrywanego ciała
i – jednostka urojona
h ̄ – stała Diraca, zredukowana stała Plancka
ψ(x) – funkcja falowa układu
ψ∗(x) – sprzężenie zespolone funkcji falowej układu

⟨A⟩ – wartość oczekiwana A
[A, B] – komutator operatorów A i B

Z Twierdzenia 4.1 wynika, że znalezienie ewolucji czasowej dowolnej funkcji f(q, p) (naprzykład położenia) sprowadza się do znalezienia kompletnego zbioru funkcji , który zawiera interesującą nas funkcję. Można to osiągnąć na przykład zaczynają od obliczenia {f, H}. Potem dodając funkcje otrzymane w wyniku do szukanego zbioru. Następnie obliczając nawiasy Poissona z hamiltonianem wszystkich dodanych do zbioru w poprzednim kroku i powtarzając.
Dla pewnych hamiltonianów i funkcji początkowych f stosując powyższy algorytm po skończonej liczbie iteracji otrzymamy kompletny zbiór funkcji.

Należy zauważyć, że w powyższej procedurze jest pewien stopień swobody, gdyż dla przypadku n wymiarowego nawias Poissona jest sumą 2n składników, które można różnie grupować i używać jako funkcji, które dodajemy do szukanego zbioru. Na przykład jeśli {f, H} = A + B to do zbioru funkcji można dołożyć zarówno A + B, ale też A i B jako osobne funkcje. Można też powyższy algorytm stosować jako metodę przybliżoną. W tym celu po wykonaniu pewnej liczby iteracji można założyć, że następne funkcje dokładane do zbioru są w przybliżeniu stałe i traktować je jako funkcje stałe o wartości równej wartości początkowej tych funkcji.
Warto przedtem sprawdzić czy rzeczywiście przybliżane funkcje są ”dostatecznie stałe” na przykład przez sprawdzenie, czy ich kolejne pochodne czasowe (które obliczamy jako nawiasy Poissona funkcji z H) w chwili początkowej są dostatecznie małe. Należy zauważyć, że dla różnych warunków początkowych dokładne wyniki może dawać traktowanie jako stałe różnych funkcji.

Głównym celem tej sekcji jest pokazanie możliwości zastosowania omawianej metody do szukania rozwiązań przybliżonych, a nie stworzenie dobrego rozwiązania przybliżonego, dlatego nie wszystkie przybliżenia w tej sekcji są spójne i poprawne.

Zauważmy, że jeśli znamy funkcję falową układu w chwili początkowej to to możemy obliczyć początkową wartość oczekiwaną dowolnego operatora, jeśli znamy jego postać.

Następnie oblczamy komutator hamiltonianu z tą obserwablą [H, A], jeśli w wynku otrzymamy operatory, których nie ma jeszcze w naszym zbiorze to obliczamy ich początkowe wartości oczekiwane. Następnie oblczamy komutatory nowch operatorów z H i procedurę powtarzamy, aż otrzymamy kompletny zbiór operatorów. Wtedy korzystając z Twierdzenia 5.1 obliczamy ewolucję ich wartości oczekiwanych w czasie. Możemy też po pewnej liczbie iteracji założyć, że wartość oczekiwana danego operatora jest stała i równa początkowej. Wtedy otrzymamy rozwiązanie przybliżone. Warto sprawdzić, czy rzeczywiście jest ona dostatecznie stała np. obliczając jej pochodne czasowe w chwili początkowej (biorąc komutator hamiltonianu i jej, a następnie komutator hamiltonianu i kolejnych pochodnych).

1. Sprawdzenie, czy stosując ostatni wariant metody przybliżonej podany w sekcji 4.2 zawsze dla dowolnego ε i n otrzyma się skończoną procedurę.
2. Porównanie wydajności stosowania metody przybliżonej przedstawionej w sekcji 4.2 do innych metod przybliżonych.
3. Znalezienie innych niż Twierdzenie 4.1 warunków na istnienie dla danych hamiltonianów zbiorów kompletnych, w szczególności zbiorów kompletnych zawierających współrzędne.
4. Czy jeśli dla danego zagadnienia klasycznego istnieje zbiór kompletny to czy dla odpowiadającego zagadnienia kwantowego operatory odpowiadające funkcjom z klasycznego zbioru kompletnego też tworzą zbiór kompletny.
5. Rozważenie zbiorów kompletnych o nieskończonej liczbie elementów.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_differential_equation#Solution_in_matrix_form
[2] https://pl.wikipedia.org/wiki/Nawias_Poissona#Dynamika_uk%C5%82adu_fizycznego
[3] https://web2.ph.utexas.edu/~vadim/Classes/2019f/brackets.pdf

Równanie (5) z powyższego artukułu można przekształcić do żądanej postaci korzystając z antysymetryczności komutatorów.

[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value#Properties

Related Articles

Related